背景介绍

孤子的发现应追溯到1834年的夏日，英国科学家 J.S.Russel 骑马正沿着一条运河岸道旅行，偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进，被船体带动的水团积聚在船头周围并剧烈地翻动着. 不久，一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波峰开始形成，并急速离开船头向前运动. 波长约 10 米，高约 0.5 米，在行进中波的形状和速度并无明显变化，以后高度逐渐下降，在跟踪至三公里后，终于消失在蜿蜒的河道上. 这次发现的奇特景观促使 Russel 开始广泛的水波实验研究. 他称这沿着狭窄通道传播的、保持形状和速度不变的水包为“伟大的孤立波”，并意识到这是流体力学中某方程的稳定解. 然而, 由于当时数学水平与计算技术的限制，罗素的研究没有取得满意的进展，直到1895年，荷兰著名数学家 Korteweg 和他的学生 de Vries 在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程1：

$$ \begin{equation} \frac{\partial \eta}{\partial \tau}=\sqrt{\frac{g}{h}} \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{3}{4} \eta^2+\alpha \eta+\frac{\sigma}{2} \frac{\partial^2 \eta}{\partial \xi^2}\right), \label{eq_1} \end{equation} $$

其中, $\sigma=\frac{1}{3} h^3-\frac{T h}{\rho g}, \eta$ 为波面高度, $h$ 为水深, $g$ 为重力加速度, $\rho$ 是水的密度, $\alpha$ 是与水的匀速流动有关的小常数, $T$ 是水的表面张力. 此后 Korteweg 和 de Vries 利用行波法求出与 Russel 描述一致的孤波解, 争论才告终止.

如果作以下变换

$$ \begin{equation} t = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{h \sigma}}\tau, \quad x = -\frac{\xi}{\sqrt{\sigma}}, \quad u=\frac{1}{2}\eta +\frac{1}{3}\alpha \end{equation} $$

则 Eq. $\eqref{eq_1}$ 可写成标准的形式

$$ \begin{equation} u_t+u_{x x x}+6 u u_x=0 \label{eq_3} \end{equation} $$

后人为了纪念这两位伟大的学者对孤波作出的贡献将 Eq. $\eqref{eq_1}$ 或 Eq. $\eqref{eq_3}$ 称为 KdV 方程.

KdV 方程的推导

1968年，Lax 曾提出了一种用线性算子导出孤子方程的方法 2, 具体计算方法如下. 首先线性算子 $\mathcal{L}$ 满足

$$ \begin{equation} \mathcal{L} \phi=\lambda \phi . \label{eq_4} \end{equation} $$

其中 $\lambda$ 为谱参数, 如果只考虑等谱情况 ( $\lambda$ 与时间无关), 即 $\lambda_t=0$，其次 $\phi$ 还满足

$$ \begin{equation} \phi_t=\mathcal{A} \phi, \label{eq_5} \end{equation} $$

其中 $\mathcal{A}$ 也是线性算子. 将 Eq. $\eqref{eq_4}$ 对 $t$ 求导, 同时结合 Eq. $\eqref{eq_5}$ 有:

$$ \begin{equation} \mathcal{L}_t \phi+\mathcal{L}\mathcal{A} \phi=\mathcal{A}\mathcal{L} \phi \end{equation} $$

从而有

$$ \begin{equation} \mathcal{L}_t=\mathcal{A}\mathcal{L} - \mathcal{L}\mathcal{A} = [\mathcal{A}, \mathcal{L}] . \end{equation} $$

这便是著名的 Lax 方程, 其中 $\mathcal{L}, \mathcal{A}$ 称为 Lax 对. 这里给出一种由 Lax 对进行推导得出 KdV 方程的较为简单的方式， 取 $\mathcal{L}$ 为 Hamilton 算子 $\mathcal{L}=\partial^2 _{x} - u(x, t)$ (实际上Lax对确实和薛定谔方程是有联系的)， $\mathcal{A}$ 为反对称算子 $\mathcal{A}=\alpha \partial_x^3 + B(x,t) \partial_x+ C(x,t) $ ， 其中 $\alpha$ 是常数， $B(x, t), C(x, t)$ 是待定的项, 则

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{A}\mathcal{L} & =\left(\alpha \partial_x^3 + B(x,t) \partial_x+ C(x,t) \right)\left(\partial^2 _x - u\right) \\ & = \alpha \partial_x^5 - \alpha(u_{xxx}+3u_{xx}\partial_{x} + 3u_{x}\partial_{x}^2 + u\partial_{x}^3) \\ & + B(\partial_{x}^3-u_{x}-u\partial_{x}) + C(\partial_{x}^2-u)\\ \mathcal{L}\mathcal{A} & =\left(\partial^2 _x - u\right)\left(\alpha \partial_x^3 + B(x,t) \partial_x+ C(x,t) \right) \\ & = \alpha \partial_x^5 +(B_{xx}\partial_{x} + 2B_{x}\partial_{x}^2 + B \partial_{x}^3) + (C_{xx}+2C_{x}\partial_{x} + C\partial_{x}^2) \\ & - u\left(\alpha \partial_x^3 + B \partial_x+ C \right) \end{aligned} \end{equation} $$

由这两个算子便有

$$ \begin{equation} \begin{aligned} u _{t} & =\mathcal{A}\mathcal{L} -\mathcal{L}\mathcal{A} \\ & = -(3 \alpha u_{x}+2B_{x})\partial_{x}^2 -(3\alpha u_{xx} + B_{xx}+2C_{x})\partial_{x} +\alpha u_{xxx} - Bu_{x} -C_{xx}. \end{aligned} \end{equation} $$

其中等式右边有关 $\partial_{x}$ 的项都为 $0$，可得

$$ \begin{equation} \begin{aligned} &3 \alpha u_{x}+2B_{x} = 0 \ &3\alpha u_{xx}+B_{xx}+2C_{x} = 0 \end{aligned} \end{equation} $$

进行积分后可以得到

$$ \begin{equation} \begin{aligned} &B = -\frac{3}{2} \alpha u \ &C = -\frac{3}{2} \alpha u_{x}+\frac{1}{2} B_{x} = -\frac{3}{4}\alpha u_{x} \end{aligned} \end{equation} $$

可以得到 $u_{t} = \alpha u_{xxx} - Bu_{x} -C_{xx}= \frac{1}{4}\alpha u_{xxx}+\frac{3}{2}\alpha u u_{x}$， 取 $\alpha=-4$, 即为 $u_t+u_{x x x}+6 u u_x=0$.

KdV方程求解

双曲正切法

首先, 运用行波法将所求解的非线性偏微分方程转化为非线性常微分方程, 即令 $\xi=c(x-v t)$, 则 $u(x, t)=U(\xi)$ ，有

$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow-c v \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi}, \frac{\partial}{\partial x} \rightarrow c \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi} \end{equation} $$

然后, 将常微分方程积分, 直到微分方程中至少有一项不含导数项且尽可能 使方程中导数项具有较低阶数为止，积分常数都取为零. 引入 $Y=\tanh (\xi)$ 作为新的独立变量, 相应的导数变为

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi} \rightarrow &\left(1-Y^2\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} Y} \\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} \xi^2} \rightarrow &\left(1-Y^2\right)\left[-2 Y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} Y}+\left(1-Y^2\right) \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} Y^2}\right] \\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d} \xi^3} \rightarrow &-2 Y\left(1-Y^2\right)\left[-2 Y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} Y}+\left(1-Y^2\right) \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} Y^2}\right] \\ &+\left(1-Y^2\right)\left[-2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} Y}-2 Y \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} Y^2}+\left(1-Y^2\right) \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d} Y^3}\right] \end{aligned} \end{equation} $$

求解过程

对于广义 KdV 方程, 运用双曲正切法进行求解3. 现在, 我们通过此方法对 Eq. $\eqref{eq_3}$ 中的形式进行求解. 通过 $\frac{\partial}{\partial t} \rightarrow-c v \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi}, \frac{\partial}{\partial x} \rightarrow c \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi}$ 变换为

$$ \begin{equation} -v U_{\xi}+6 U U_{\xi}+c^2 U_{\xi \xi \xi}=0, \end{equation} $$

两边进行积分, 可以得到

$$ \begin{equation} -v U+3 U^2+c^2 U_{\xi \xi}=0 \end{equation} $$

引入 $Y=\tanh (\xi)$ 作为新的独立变量,方程相应的可以变化为

$$ \begin{equation} -v S(Y)+3 S^2(Y)+c^2\left(1-Y^2\right) \left(-2 Y \frac{\mathrm{d} S(Y)}{\mathrm{d} Y}+\left(1-Y^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 S(Y)}{\mathrm{d} Y^2}\right)=0 \label{eq_12} \end{equation} $$

对于 $S=\sum_{m=0}^m a_m Y^m$, 参数 $M$ 是通过平衡第二项(非线性)的阶数来确定. 不妨设 $S(Y)=\gamma-\gamma Y^2$, 代入 Eq. $\eqref{eq_12}$进行化简可以得到

$$ \begin{equation} -v+3\left(\gamma-\gamma Y^2\right)+c^2 \left(-2 Y \frac{\mathrm{d}\left(1-Y^2\right)}{\mathrm{d} Y}+\left(1-Y^2\right) \frac{\mathrm{d}^2\left(1-Y^2\right)}{\mathrm{d} Y^2}\right)=0 \end{equation} $$

比较 $Y^0$ 和 $Y^2$ 的系数:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} -v+3 \gamma-2 c^2=0 \ -3 \gamma+4 c^2+2 c^2=0 \end{gathered} \end{equation} $$

现有三个末知数 $(v, \gamma, c)$ 和两个方程, 所以可以选择 $c$ 作为自由参数. 发现其它变量为 $\gamma=2 c^2, v=4 c^2$.

最后, KdV 方程的孤波解为 3 :

$$ \begin{equation}\begin{gathered} u(x,t) =2c^2\left\{1-\tanh^2\left[c\left(x-4c^2t\right)\right]\right\} \\ =2c^2\sec h^2\left[c\left(x-4c^2t\right)\right] \end{gathered}\end{equation} $$

P.S. 其中用 Lax pair 推导的方式几经修改，修正了一些细节内容.

参考资料

  1. Korteweg, Diederik Johannes, and Gustav De Vries. “On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 39.240 (1895): 422-443. ↩︎

  2. Lax, Peter D. “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.” Communications on pure and applied mathematics 21.5 (1968): 467-490. ↩︎

  3. Malfliet, Willy. “Solitary wave solutions of nonlinear wave equations.” American journal of physics 60.7 (1992): 650-654. ↩︎ ↩︎